复合函数
定义
- 官方解释
设y是u的函数,u是x的函数,如果的值全部或部分在的定义域内,则y通过u成为x的函数,记作,称为由函数与复合而成的复合函数。 -
注意
- 不是任意两个函数都能复合
f o φ ≠ φ o f - 满足结合律,不满足交换律
- 不是任意两个函数都能复合
- 形式
( f o \varphi )( x ) = f [ \varphi ( x ) ] , x\in G
反函数
定义
-
官方解释
设函数y=f(x)的定义域是D,值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y,在D中有且只有一个x使得g(y)=x,则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数,并把该函数称为函数y=f(x)的反函数(读作:f逆),记为
x=f^{-1}(y),y\in f(D) -
定理
函数y=f(x)在数集A严增(或严减),则y=f(x)存在反函数,且反函数x=f^{-1}(y)在f(A)也严增(或严减)。 -
注意
图象关于y=x对称。
多对一无反函数
初等函数
概念
可以由基本初等函数经过有限次的代数运算与有限次的复合运算,所得到的函数统称为初等函数,否则称为非初等函数。
- 常值函数
y=c -
幂函数
y=x^{\alpha },\alpha为实数,这里只讨论\alpha为有理数\frac{p}{q}(q是正整数,p是整数,且p与q互素)
y=x^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^{p}} -
指数函数与对数函数
y=a^{x},y=log_{a}x,0<a\neq 1 -
三角函数
y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx -
反三角函数
y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx
注意
狄利克雷函数不是初等函数,但是可以由无限次极限运算的解析式子表示。
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