复合函数

定义

  • 官方解释
    设y是u的函数,u是x的函数,如果的值全部或部分在的定义域内,则y通过u成为x的函数,记作,称为由函数与复合而成的复合函数。

  • 注意

    • 不是任意两个函数都能复合
      f o φ ≠ φ o f
    • 满足结合律,不满足交换律
  • 形式
    ( f o \varphi )( x ) = f [ \varphi ( x ) ] , x\in G

反函数

定义

  • 官方解释
    设函数y=f(x)的定义域是D,值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y,在D中有且只有一个x使得g(y)=x,则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数,并把该函数称为函数y=f(x)的反函数(读作:f逆),记为
    x=f^{-1}(y),y\in f(D)

  • 定理
    函数y=f(x)在数集A严增(或严减),则y=f(x)存在反函数,且反函数x=f^{-1}(y)f(A)也严增(或严减)。

  • 注意
    图象关于y=x对称。
    多对一无反函数

初等函数

概念

可以由基本初等函数经过有限次的代数运算有限次的复合运算,所得到的函数统称为初等函数,否则称为非初等函数

  1. 常值函数
    y=c

  2. 幂函数
    y=x^{\alpha }\alpha为实数,这里只讨论\alpha为有理数\frac{p}{q}(q是正整数,p是整数,且p与q互素)
    y=x^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^{p}}

  3. 指数函数与对数函数
    y=a^{x},y=log_{a}x,0<a\neq 1

  4. 三角函数
    y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx

  5. 反三角函数
    y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx

注意

狄利克雷函数不是初等函数,但是可以由无限次极限运算的解析式子表示。