一、核心思想

要证明\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n}=a，只需证明

，有

二、例题

1. 证明\lim_{n \rightarrow \infty } q^{n}=0,|q|<1

证：(1) 当q=0时

\forall n \in \mathbb{N}_{+},a^{n}=0为常数列

因为常数列\lim_{n \rightarrow \infty} c=c（易证）

所以\lim_{n \rightarrow \infty} q^{n}=0

(2) 当0<|q|<1时，\forall \varepsilon > 0（限定0<\varepsilon <|q|），要使不等式|q^{n} -0|=|q|^{n}<\varepsilon 成立

解得n>\frac{ln\varepsilon }{ln|q|}(ln \varepsilon<0与ln|q|<0)

取N=\begin{bmatrix}
\frac{ln\varepsilon }{ln|p|}
\end{bmatrix}

于是\forall \varepsilon >0,\exists N=\begin{bmatrix}
\frac{ln\varepsilon }{ln|p|}
\end{bmatrix} \in \mathbb{N}_{+},\forall n>N有|q^n-0|<\varepsilon，即

\lim_{n \rightarrow \infty } q^{n}=0