一、核心思想
要证明\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n}=a,只需证明
,有
二、例题
- 证明\lim_{n \rightarrow \infty } q^{n}=0,|q|<1
证:(1) 当q=0时
\forall n \in \mathbb{N}_{+},a^{n}=0为常数列
因为常数列\lim_{n \rightarrow \infty} c=c(易证)
所以\lim_{n \rightarrow \infty} q^{n}=0
(2) 当0<|q|<1时,\forall \varepsilon > 0(限定0<\varepsilon <|q|),要使不等式|q^{n} -0|=|q|^{n}<\varepsilon 成立
解得n>\frac{ln\varepsilon }{ln|q|}(ln \varepsilon<0与ln|q|<0)
取N=\begin{bmatrix}
\frac{ln\varepsilon }{ln|p|}
\end{bmatrix}
于是\forall \varepsilon >0,\exists N=\begin{bmatrix}
\frac{ln\varepsilon }{ln|p|}
\end{bmatrix} \in \mathbb{N}_{+},\forall n>N有|q^n-0|<\varepsilon,即
\lim_{n \rightarrow \infty } q^{n}=0
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