一、核心思想

要证明\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n}=a,只需证明

,有

二、例题

  1. 证明\lim_{n \rightarrow \infty } q^{n}=0,|q|<1

证:(1) 当q=0

\forall n \in \mathbb{N}_{+},a^{n}=0为常数列

因为常数列\lim_{n \rightarrow \infty} c=c(易证)

所以\lim_{n \rightarrow \infty} q^{n}=0

(2) 当0<|q|<1时,\forall \varepsilon > 0(限定0<\varepsilon <|q|),要使不等式|q^{n} -0|=|q|^{n}<\varepsilon 成立

解得n>\frac{ln\varepsilon }{ln|q|}(ln \varepsilon<0ln|q|<0)

N=\begin{bmatrix}
\frac{ln\varepsilon }{ln|p|}
\end{bmatrix}

于是\forall \varepsilon >0,\exists N=\begin{bmatrix}
\frac{ln\varepsilon }{ln|p|}
\end{bmatrix} \in \mathbb{N}_{+},\forall n>N
|q^n-0|<\varepsilon,即

\lim_{n \rightarrow \infty } q^{n}=0