一、解不等式

|a_{n}-a|< \varepsilon

二、利用放大或二项式展开

常见不等式

1.\forall n \in N_{+} , n \geq 2

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \cdots \cdot \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}

2.伯努利不等式

\forall x \in R , x > -1 , \forall n \in N_{+} , n > 1

( 1 + x)^{n} \geq 1+nx ,仅当x=0等号成立

3.若x_{i}>0,i=1,2,3,\cdots ,n,且x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=1有

x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\geq n

仅当x_{i}=1时等号成立

4.若\forall x_{i}>0,i=1,2,\cdots ,n

T_{n}= \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots +\frac{1}{x_{n}}} 调和平均

J_{n}=\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}} 几何平均

S_{n}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n} 算术平均

T_{n}\leq J_{n} \leq S_{n}

T_{n}= J_{n} = S_{n} \rightleftharpoons x_{1}=x_2=\cdots =x_n

5.若\forall n \in N_+ ,且n>2 有

\sqrt{n}<\sqrt[n]{n!}<\frac {n+1} {2}

6.若\forall n \in N_+,有不等式

(1+\frac {1} {n})^n<(1+\frac {1} {n+1})^{n+1}

分析法