一、解不等式

$|a_{n}-a|< \varepsilon$

二、利用放大或二项式展开

1. $\forall n \in N_{+} , n \geq 2$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \cdots \cdot \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

2.伯努利不等式

$\forall x \in R , x > -1 , \forall n \in N_{+} , n > 1$ 有

$( 1 + x)^{n} \geq 1+nx$ ，仅当 $x=0$ 等号成立

3.若 $x_{i}>0,i=1,2,3,\cdots ,n,且x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=1有$

$x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\geq n$

仅当 $x_{i}=1$ 时等号成立

4.若 $\forall x_{i}>0,i=1,2,\cdots ,n$ 设

$T_{n}= \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots +\frac{1}{x_{n}}}$ 调和平均

$J_{n}=\sqrt[n]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}$ 几何平均

$S_{n}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}$ 算术平均

有 $T_{n}\leq J_{n} \leq S_{n}$

有 $T_{n}= J_{n} = S_{n} \rightleftharpoons x_{1}=x_2=\cdots =x_n$

5.若 $\forall n \in N_+ ,且n>2 有$

$\sqrt{n}<\sqrt[n]{n!}<\frac {n+1} {2}$

6.若 $\forall n \in N_+$ ，有不等式

$(1+\frac {1} {n})^n<(1+\frac {1} {n+1})^{n+1}$

略